Физика
3.4. Механическая энергия
3.4.2. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия — это механическая энергия системы тел, определяемая их (или частей одного тела) взаимным расположением.
Потенциальная энергия деформированной пружины
Деформированная пружина (сжатая или растянутая) (рис. 3.7) обладает потенциальной энергией, которая определяется формулой
W p = k ( Δ l ) 2 2 ,
где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆l — величина абсолютной деформации пружины (удлинения или сжатия).
Рис. 3.7
Потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.
Следует отметить, что потенциальная энергия деформированной пружины всегда является положительной величиной.
В Международной системе единиц потенциальная энергия деформированной пружины измеряется в джоулях (1 Дж).
Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли
Тело, расположенное на расстоянии h над поверхностью Земли (или под ее поверхностью), обладает потенциальной энергией, которая определяется формулой
Wp = mgh + C,
где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения.
Выбор константы C является условным и зависит от конкретной задачи; часто указанную константу выбирают таким образом, чтобы на поверхности планеты потенциальная энергия взаимодействия тела и планеты обращалась в ноль.
Следует отметить, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
В Международной системе единиц потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту относительно поверхности Земли, измеряется в джоулях (1 Дж).
Пример 26. Две пружины с одинаковыми коэффициентами жесткости по 1,0 кН/м соединили последовательно. Составную пружину растянули на 10 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия деформации, если эти же пружины соединить параллельно, а величину деформации системы оставить прежней? Рассчитать потенциальную энергию пружин при последовательном и параллельном соединении, считая деформацию составной пружины одинаковой и равной 10 см.
Решение. Потенциальная энергия составной пружины определяется формулой
W p = k общ ( Δ l ) 2 2 ,
где kобщ — общий коэффициент жесткости составной пружины; ∆l — величина деформации пружины.
Коэффициент жесткости составной пружины определяется по-разному:
для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,
k общ 1 = k 0 N ;
для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,
kобщ2 = Nk0,
где k0 — коэффициент жесткости одной пружины; N = 2 — количество соединенных пружин.
Потенциальная энергия составной пружины вычисляется по формулам:
для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,
W p 1 = k общ 1 ( Δ l ) 2 2 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N ;
для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,
W p 2 = k общ 2 ( Δ l ) 2 2 = N k 0 ( Δ l ) 2 2 .
Отношение потенциальных энергий
W p 1 W p 2 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N 2 N k 0 ( Δ l ) 2 = 1 N 2
определяется только количеством пружин и не зависит от деформации составной пружины.
Рассчитаем потенциальную энергию составной пружины, состоящей из двух одинаковых пружин,
соединенных последовательно:
W p 1 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N = 1,0 ⋅ 10 3 ( 10 ⋅ 10 − 2 ) 2 2 ⋅ 2 = 2,5 Дж;
соединенных параллельно:
W p 2 = N k 0 ( Δ l ) 2 2 = 2 ⋅ 1,0 ⋅ 10 3 ( 10 ⋅ 10 − 2 ) 2 2 = 10 Дж.
Отношение указанных потенциальных энергий равно
W p 1 W p 2 = 1 N 2 = 1 2 2 = 4 .
Следовательно, при одинаковой деформации потенциальная энергия пружины, составленной из двух одинаковых параллельно соединенных пружин, в 4 раза больше потенциальной энергии пружины, составленной из двух одинаковых последовательно соединенных пружин.
Пример 27. Какой энергией обладает тело массой 500 г на вершине горы относительно дна озера, находящегося у подножия горы? Высота горы составляет 1,50 км, а глубина озера 250 м.
Решение. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, определяется формулой
Wp = mgh,
где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота, на которую поднято тело над определенным уровнем, характеризуемым нулевым значением потенциальной энергии.
Выберем нулевой уровень потенциальной энергии (Wp = 0) на дне озера так, как показано на рисунке.
Тогда высота, на которую поднято тело над указанным уровнем, является суммой:
h = h2 + h2,
где h2 = 1,50 км — высота горы; h2 = 250 м — глубина озера.
Потенциальная энергия тела относительно дна озера определяется выражением
Wp = mg(h2 + h2).
Расчет дает значение:
W p = 500 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 ⋅ ( 1,50 + 0,25 ) ⋅ 10 3 = 8,75 ⋅ 10 3 Дж = 8,75 кДж.
Физика
3.4. Механическая энергия
3.4.2. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия — это механическая энергия системы тел, определяемая их (или частей одного тела) взаимным расположением.
Потенциальная энергия деформированной пружины
Деформированная пружина (сжатая или растянутая) (рис. 3.7) обладает потенциальной энергией, которая определяется формулой
W p = k ( Δ l ) 2 2 ,
где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆l — величина абсолютной деформации пружины (удлинения или сжатия).
Рис. 3.7
Потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю.
Следует отметить, что потенциальная энергия деформированной пружины всегда является положительной величиной.
В Международной системе единиц потенциальная энергия деформированной пружины измеряется в джоулях (1 Дж).
Потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли
Тело, расположенное на расстоянии h над поверхностью Земли (или под ее поверхностью), обладает потенциальной энергией, которая определяется формулой
Wp = mgh + C,
где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения.
Выбор константы C является условным и зависит от конкретной задачи; часто указанную константу выбирают таким образом, чтобы на поверхности планеты потенциальная энергия взаимодействия тела и планеты обращалась в ноль.
Следует отметить, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
В Международной системе единиц потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту относительно поверхности Земли, измеряется в джоулях (1 Дж).
Пример 26. Две пружины с одинаковыми коэффициентами жесткости по 1,0 кН/м соединили последовательно. Составную пружину растянули на 10 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия деформации, если эти же пружины соединить параллельно, а величину деформации системы оставить прежней? Рассчитать потенциальную энергию пружин при последовательном и параллельном соединении, считая деформацию составной пружины одинаковой и равной 10 см.
Решение. Потенциальная энергия составной пружины определяется формулой
W p = k общ ( Δ l ) 2 2 ,
где kобщ — общий коэффициент жесткости составной пружины; ∆l — величина деформации пружины.
Коэффициент жесткости составной пружины определяется по-разному:
для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,
k общ 1 = k 0 N ;
для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,
kобщ2 = Nk0,
где k0 — коэффициент жесткости одной пружины; N = 2 — количество соединенных пружин.
Потенциальная энергия составной пружины вычисляется по формулам:
для N одинаковых пружин, соединенных последовательно,
W p 1 = k общ 1 ( Δ l ) 2 2 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N ;
для N одинаковых пружин, соединенных параллельно,
W p 2 = k общ 2 ( Δ l ) 2 2 = N k 0 ( Δ l ) 2 2 .
Отношение потенциальных энергий
W p 1 W p 2 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N 2 N k 0 ( Δ l ) 2 = 1 N 2
определяется только количеством пружин и не зависит от деформации составной пружины.
Рассчитаем потенциальную энергию составной пружины, состоящей из двух одинаковых пружин,
соединенных последовательно:
W p 1 = k 0 ( Δ l ) 2 2 N = 1,0 ⋅ 10 3 ( 10 ⋅ 10 − 2 ) 2 2 ⋅ 2 = 2,5 Дж;
соединенных параллельно:
W p 2 = N k 0 ( Δ l ) 2 2 = 2 ⋅ 1,0 ⋅ 10 3 ( 10 ⋅ 10 − 2 ) 2 2 = 10 Дж.
Отношение указанных потенциальных энергий равно
W p 1 W p 2 = 1 N 2 = 1 2 2 = 4 .
Следовательно, при одинаковой деформации потенциальная энергия пружины, составленной из двух одинаковых параллельно соединенных пружин, в 4 раза больше потенциальной энергии пружины, составленной из двух одинаковых последовательно соединенных пружин.
Пример 27. Какой энергией обладает тело массой 500 г на вершине горы относительно дна озера, находящегося у подножия горы? Высота горы составляет 1,50 км, а глубина озера 250 м.
Решение. Потенциальная энергия тела, поднятого на некоторую высоту, определяется формулой
Wp = mgh,
где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения; h — высота, на которую поднято тело над определенным уровнем, характеризуемым нулевым значением потенциальной энергии.
Выберем нулевой уровень потенциальной энергии (Wp = 0) на дне озера так, как показано на рисунке.
Тогда высота, на которую поднято тело над указанным уровнем, является суммой:
h = h2 + h2,
где h2 = 1,50 км — высота горы; h2 = 250 м — глубина озера.
Потенциальная энергия тела относительно дна озера определяется выражением
Wp = mg(h2 + h2).
Расчет дает значение:
W p = 500 ⋅ 10 − 3 ⋅ 10 ⋅ ( 1,50 + 0,25 ) ⋅ 10 3 = 8,75 ⋅ 10 3 Дж = 8,75 кДж.
Потенциальная энергия деформированной пружины
16.7Закон сохранения механической энергии
Консервативные силы называются так потому, что сохраняют механическую энергию замкнутой системы тел.
Механическая энергия E тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий:
E = K + W:
Механическая энергия системы тел равна сумме их кинетических энергий и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом.
Предположим, что тело совершает движение под действием силы тяжести и/или силы упругости пружины. Будем считать, что трения нет. Пусть в начальном положении кинетическая и потенциальная энергии тела равны K1 и W1, в конечном положении K2 и W2. Работу внешних сил при перемещении тела из начального положения в конечное обозначим A.
По теореме о кинетической энергии:
K2 K1 = A:
Но работа консервативных сил равна разности потенциальных энергий:
A = W1 W2:
Отсюда получаем:
K2 K1 = W1 W2;
или
K1 + W1 = K2 + W2:
Левая и правая части данного равенства представляют собой механическую энергию тела в начальном и конечном положении:
E1 = E2:
Следовательно, при движении тела в поле силы тяжести и/или на пружине механическая энергия тела остаётся неизменной при отсутствии трения.
Справедливо и более общее утверждение.
Закон сохранения механической энергии. Если в замкнутой системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.
При этих условиях могут происходить лишь превращения энергии: из кинетической в потенциальную и наоборот. Общий запас механической энергии системы остаётся постоянным.
16.8Закон изменения механической энергии
Если между телами замкнутой системы имеются силы сопротивления (сухое или вязкое трение), то механическая энергия системы будет уменьшаться. Так, автомобиль останавливается в результате торможения, колебания маятника постепенно затухают и т. д. Силы трения неконсервативны: работа силы трения очевидным образом зависит от пути, по которому перемещается тело между данными точками. В частности, работа силы трения по замкнутому пути не равна нулю.
Снова рассмотрим движение тела в поле силы тяжести и/или на пружине. Вдобавок на тело действует сила трения, которая за рассматриваемый промежуток времени совершает отрицательную работу Aтр. Работу консервативных сил (тяжести и упругости)по-прежнемуобозначаем A.
Использование энергии пружины на практике
Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.
Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.
В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2
).
Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.
Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.
Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.
Как определить значение потенциальной энергии
Энергия кинетическая: формула и определение
Механическая система, которая связана со скоростью перемещения объекта, применяется крайне часто. Стоит учитывать, что она может делиться на поступательную и вращательную. В качестве единицы измерения используется джоуль.
Среди особенностей отметим нижеприведенные моменты:
- Рассматриваемый тип усилия также представлен разностью между исходным состоянием тела и его положением в полном спокойствии.
- Обуславливается возникновение определенного усилия, за счет которого обеспечивается перемещение тела и совершение работы.
Пружина за счет силы упругости приводит в движение различные объекты. При этом жесткость пружины растянутой может быть различной, все зависит от особенностей конкретного изделия.
Рассматриваемая формулу следует уделить внимание достаточно большому количеству различных моментов. Особенностями назовем следующее:. Упругость зависит от количества витков, толщины применяемой проволоки и типа применяемого материала при изготовлении
Упругость зависит от количества витков, толщины применяемой проволоки и типа применяемого материала при изготовлении
Упругость зависит от количества витков, толщины применяемой проволоки и типа применяемого материала при изготовлении
Кроме этого, уделяется внимание взаимному расположению витков. Работа, которая может совершаться пружиной, зависит от взаимного положения частей тела
Начальное и конечное растяжение может существенно отличаться
Рассматриваемое изделие в растянутом положении может совершать различную работу
Начальное и конечное растяжение может существенно отличаться. Рассматриваемое изделие в растянутом положении может совершать различную работу
Расчеты позволяют определить то, каково ее значение, а также величину потенциальной.
Расчеты могут проводится исключительно после создания схемы. Примером назовем следующее:
- Один конец витков закреплен за основание, второй предназначен для совершения работы.
- Не стоит забывать о том, что показатель изменяется, он не остается постоянным. Изменения пропорционально растяжению.
- Изначальное растяжение обозначается буквой l, для определения первоначального значение силу упругости применяется формула F=kl. В данной формуле используется коэффициент k, который обозначает жесткость.
Приведенная выше информация указывает на то, что провести расчет требуемого показателя проводится следующим образом: E=kl 2 /2. В этом случае величина во многом зависит от удлинения и коэффициента жесткости.
Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:
В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .
При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии изменяются периодически. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины.
Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и т. д.
Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной.
Для груза на пружине:
Запуск колебательного движения тела осуществляется с помощью кнопки Старт . Остановить процесс в любой момент времени позволяет кнопка Стоп .
Графически показано соотношение между потенциальной и кинетической энергиями при колебаниях в любой момент времени
Обратите внимание, что в отсутствие затухания полная энергия колебательной системы остается неизменной, потенциальная энергия достигает максимума при максимальном отклонении тела от положения равновесия, а кинетическая энергия принимает максимальное значение при прохождении тела через положение равновесия
Задание 7. Верхний конец пружины идеального пружинного маятника неподвижно закреплён, как показано на рисунке. Масса груза маятника равна m, жёсткость пружины равна k. Груз оттянули вниз на расстояние x от положения равновесия и отпустили с начальной скоростью, равной нулю. Формулы А и Б позволяют рассчитать значения физических величин, характеризующих колебания маятника.
Установите соответствие между формулами и физическими величинами, значение которых можно рассчитать по этим формулам.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
1) амплитуда колебаний скорости
2) циклическая частота колебаний
3) максимальная кинетическая энергия груза
4) период колебаний
А) Имеем пружинный маятник массой m и жесткостью пружины k, тогда период свободных колебаний этого маятника определяется по формуле
Б) Для пружинного маятника известны формулы кинетической энергии
Пружинный маятник, состоящий из груза и лёгкой пружины, совершает колебания. В момент, когда груз находится в крайнем положении, его немного подталкивают вдоль оси пружины в направлении от положения
равновесия. Как в результате этого изменяются максимальная кинетическая энергия груза маятника и частота его колебаний?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
3) не изменяется
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Максимальная кинетическая энергия груза маятника | Частота колебаний маятника |
Груз подтолкнули от положения равновесия, откуда следует, что амплитуда колебаний груза увеличится. При этом увеличится также и максимальная потенциальная энергия пружины. По закону сохранения энергии, это приведет к увеличению максимальной кинетической энергии груза маятника.
Период и частота пружинного маятника зависят только от массы груза и жесткости пружины. Таким образом, при увеличении амплитуды колебаний груза, частота колебаний маятника не изменится.
Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника
При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.
Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.
Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:
- Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
- Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.
Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.
Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.
Постигаем закон Гука
Все объекты природы могут деформироваться, т.е. менять свою форму или объем, под действием приложенной силы. Если такие деформации (т.е. изменения) исчезают после прекращения действия приложенной силы, то они называются упругими. Упругость играет важную роль в технике. Упругие пружины используются для гашения удара при посадке космического корабля на поверхность планеты. Свернутые в спираль упругие пластины применяются в заводных механизмах часов. Даже в мышеловке используется упругая деформация пружины.
Еще в XVII-M веке английский физик Роберт Гук, изучая упругие свойства разных материалов, вывел закон, названный его именем. Согласно закону Гука, для упругого деформирования материала требуется приложить силу, величина которой прямо пропорциональна его деформации. Например, чтобы растянуть пружину на величину \( x \), потребуется приложить внешнюю силу \( F_{вн} \), которая равна:
где \( k \) — это коэффициент пропорциональности.
Точнее говоря, вектор деформации \( \mathbf{x} \) всегда направлен противоположно силе сопротивления пружины (или силе упругости) \( \mathbf{F} \), а потому в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:
Растягиваем и сжимаем пружины
В реальном мире, помимо упругих деформаций, имеются еще и пластические деформации. Так называют деформации, которые остаются в объекте, хотя бы частично, даже после прекращения действия внешних сил. Если сила не превосходит некоторой известной величины, которая называется пределом упругости, то возникающая деформация будет пластической. Предел упругости имеет разные значения для разных материалов. Если деформируемый объект, например пружина, испытывает только упругие деформации, то его называют идеально упругим, например, идеально упругой пружиной. Коэффициент пропорциональности \( k \) в законе Гука \( F=kx \) называется коэффициентом упругости объекта, который зависит от материала объекта, его размеров и измеряется в Н/м.
Допустим, вам нужно спроектировать подвеску автомобиля массой 1000 кг, состоящую из 4 пружин, которые могут идеально упруго деформироваться на расстояние 0,5 м. Каким коэффициентом упругости должна обладать пружина, чтобы выдержать вес автомобиля?
Вес автомобиля равен \( mg \), где \( g \) — это ускорение свободного падения под действием силы гравитационного притяжения. Это значит, что на каждую пружину приходится вчетверо меньшая нагрузка \( mg/4 \).
Определим упругую деформацию пружины под действием этой нагрузки по формуле закона Гука:
т.е. коэффициент упругости равен:
Подставляя значения, получим:
Итак, чтобы выдержать вес автомобиля, потребуется пружина с коэффициентом упругости равным 4,9·103 Н/м. Не забудьте, что каждый элемент подвески автомобиля должен обладать определенным запасом прочности, чтобы выдерживать непредсказуемые превышения нагрузки, например на ухабах. Однако эта задача выходит за рамки данного курса.
Изучаем особенности закона Гука
Как уже упоминалось выше, в векторную формулировку закона Гука обычно входит знак “минус”:
Таким образом, знак “минус” выражает следующую особенность упругой деформации: сила упругости всегда противоположна деформации. На рис. 12.1 схематически показаны направления силы упругости и деформации при сжатии и растяжении пружины.
Как видите, при отсутствии растяжении или сжатия нет и деформации (см. схему А на рис. 12.1). Если пружина сжимается влево, то сила упругости направлена вправо (см. схему Б на рис. 12.1), а если пружина растягивается вправо, то сила упругости направлена влево (см. схему В на рис. 12.1).
